Question

已知函数 f(x)=(1+ 1 tanx )si n 2 x+msin(x+ π 4 )sin(x- π 4 ) ．（1

已知函数 f(x)=(1+ 1 tanx )si n 2 x+msin(x+ π 4 )sin(x- π 4 ) ．（1）当m=0时，求函数f（x）在区间 ( π 8 ， 3π 4 ) 上的取值范围；（2）当tanα=2时， f(α)= 6 5 ，求m的值．

Answer 1

（1）当m=0时，f（x）=（1+ cosx sinx ）sin 2 x=sin 2 x+sinxcosx= 1-cos2x+sin2x 2 = 1 2 [ 2 sin（2x- π 4 ）+1] 由已知x∈ ( π 8 ， 3π 4 ) ，f（x）的值域为（0， 1+ 2 2 ） （2）∵ f(x)=(1+ 1 tanx )si n 2 x+msin(x+ π 4 )sin(x- π 4 ) =sin 2 x+sinxcosx+ m(cos π 2 -cos2x) 2 = 1-cos2x 2 + sin2x 2 - mcos2x 2 = 1 2 [sin2x-（1+m）cos2x]+ 1 2 ∵ f(α)= 6 5 ， ∴f（α）= 1 2 [sin2α-（1+m）cos2α]+ 1 2 = 6 5   ① 当tanα=2，得：sin2a= 2sinαcosα si n 2 α+co s 2 α = 2tanα 1+ta n 2 α = 4 5 ，cos2α=- 3 5 代入①式，解得m=- 7 5 ．