Question

如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AE

如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的一个动点，过点P作PG⊥AB′于点G，作PH⊥DC于点H，试判断PG+PH的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

（1）△CEB′≌△AED． 证明：由折叠和四边形ABCD为矩形可得： AD=B′C，∠D=∠B′=90°， 在△CEB′和△AED中， ∠CEB′=∠DEA ∠B′=∠D B′C=AD ， ∴△CEB′≌△AED（AAS）． （2）PG+PH的值是定值． ①当点P不与点A、C重合时， 延长HP交AB于点M，则PM⊥AB． ∵∠EAC=∠CAB，PG⊥AB′于点G， ∴PG=PM． ∴PG+PH=PM+PH=HM=AD． ∵∠EAC=∠CAB，∠CAB=∠ECA， ∴∠EAC=∠ECA． ∴AE=EC=DC-DE=AB-DE=8-3=5． 在Rt△ADE中，AD= A E 2 -D E 2 = 5 2 - 3 2 =4 ． ∴PG+PH=AD=4． ②当点P与点A重合时，点G与点A重合，点H与点D重合， ∴PG+PH=0+AD=4． ③当点P与点C重合时，点G与点B′重合，点H与点C重合， ∴PG+PH=B′C=BC=AD=4． 综上说述，PG+PH的值是定值，且PG+PH=4．