Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）在AC上求作一点P，使∠ABP=∠A；（用尺规作图，不写作法，但要保留作图

如图在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）在AC上求作一点P，使∠ABP=∠A；（用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）（2）如果∠A=22.5°，利用上述作图，求tan22.5°的值．（结果保留根式）

Answer 1

（1）如图所示，点P即为所求； （2）∵∠A=22.5°，∠ABP=∠A， ∴∠BPC=∠A+∠ABP=22.5°+22.5°=45°． 又∵∠C=90°， ∴∠PBC=45°， ∴BC=CP，BP= 2 BC， ∴AP=BP= 2 BC， ∴AC=AP+PC= 2 BC+BC=（ 2 +1）BC， ∴tan22.5°=tanA= BC AC = 1 2 +1 = 2 -1．