Question

已知函数f（x）=log a x（a＞0）且a≠1），若数列2，f（a 1 ，f（a 2 ，…f（a n ），2n+4，…（n∈N *

已知函数f（x）=log a x（a＞0）且a≠1），若数列2，f（a 1 ，f（a 2 ，…f（a n ），2n+4，…（n∈N * ），成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）当a=2时，数列{b n }满足b 1 =4，b n =4b n-1 +a n-1 ，求数列{b n }的前n项和S n ．

Answer 1

（1）设等差数列2，f（a 1 ），f（a 2 ），…，f（a n ），2n+4（n∈N * ）的公差为d， ∴2n+4=2+（n+2-1）d，∴d=2， ∴f（a n ）=2+（n+1-1）?2=2n+2， ∴ a n = a 2n+2 ，（5分） （2）∵b n =4b n-1 +a n-1 ，∴ b n =4 b n-1 + 4 n ， ∴ b n 4 n = b n-1 4 n-1 +1 ，∴ b n 4 n - b n-1 4 n-1 =1 ， ∴ b n 4 n =1+(n-1)×1 ， ∴ b n =n 4 n ， ∴ S n =1? 4 1 +2? 4 2 +3? 4 3 +…+n 4 n ，① ∴ 4 S n =1? 4 2 +2? 4 3 +3? 4 4 +…+n 4 n+1 ，② ①-②得： -3 S n = 4 1 + 4 2 + 4 3 +…+ 4 n -n 4 n+1 ， ∴ S n = (3n-1) 4 n+1 +4 9 （12分）