Question

设a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程 x 2 +2 b x+2c-a=0 有两个相等的实数根，方程3c

设a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程 x 2 +2 b x+2c-a=0 有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为0．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）若a，b为方程x 2 +mx-3m=0的两根，求m的值．

Answer 1

（1）证明：∵方程x 2 +2 b x+2c-a=0有两个相等的实数根， ∴（2 b ） 2 -4（2c-a）=0，（1分） ∴b+a=2c，（1分） ∵方程3cx+2b=2a的根为0， ∴b=a，（1分） ∴b=a=c， ∴△ABC为等边三角形；                （1分） （2）∵a，b为方程 x 2 +mx-3m=0的两根， 又∵由（1）a=b，（1分） ∴m 2 -4×（-3m）=0，（2分） ∴m 1 =0，m 2 =-12．（1分） ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a＞0， ∴m=-12．