已知：PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．如图，当∠APB=45°时，求AB及
已知：PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长．...
已知：PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长．
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过A点作AE⊥PB于E，如图，
∵∠APB=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PE=AE=
PA=
×
=1，
∵PB=4，
∴BE=PB-PE=4-1=3，
在Rt△AEB中，AB=
=
=
；
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF=45°，PF=
AP=
∵∠APB=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PE=AE=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
∵PB=4，
∴BE=PB-PE=4-1=3，
在Rt△AEB中，AB=
| BE2+AE2 |
| 32+12 |
| 10 |
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF=45°，PF=
| 2 |
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