Question

求解数学

Answer 1

【解析】：（1）EG⊥CG，，理由是：EC/GC=√2，

如图1，过G作GH⊥EC于H，

∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC.

∵G为DF中点，∴H为EC中点.

∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC.

∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形.

∴EC/GC=√2.

（2）结论还成立，证明如下：

如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，

∵在△EFG和△HDG中，GF＝GD，∠FGE＝∠DGH，EG＝HG，

∴△EFG≌△HDG（SAS）.

∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG.

∴EF∥DH.

∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4.

∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC.

在△EBC和△HDC中，BE＝DH，∠EBC＝∠HDC，BC＝CD，

∴△EBC≌△HDC．

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH.

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°.

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵G为EH的中点，

∴EG⊥GC，EC/GC=√2，即（1）中的结论仍然成立.

（3）如图3，连接BD，

∵AB=√2，正方形ABCD，∴BD=2，∴cos∠DBE=BE/BD=1/2.

∴∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°.∴∠ABF=45°-15°=30°.

∴tan∠ABF=√3/3，∴DE=√3*BE=√3，

∴DF=DE-EF=√3-1.