Question

如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点坐标为（x1，y1）

如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点坐标为（x1，y1），（x2，y2），y1＞0，y2＜0，P是此抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．（Ⅰ）求证：y1y2=-p2；（Ⅱ）直线PA、PF、PB的方向向量为（1，a）、（1，b）、（1，c），求证：实数a、b、c成等差数列；（Ⅲ）若PA?PB＝0，∠APF＝α，∠BPF＝β，∠PFO＝θ，求证：θ＝|α?β|．

Answer 1

证明：（I）（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为：x＝

p

2

，
则A(

p

2

，p)，B(

p

2

，?p)，∴y₁y₂=-p²（1分）
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为：y＝k(x?

p

2

)，
则由

y＝k(x? p 2 ) y2＝2px

，可得ky2?2py?kp2＝0(k≠0)∴y₁y₂=-p²（3分）
（Ⅱ）由已知a=k_PA，b=k_PF，c=k_PB，
设P(?

p

2

，t)，F(

p

2

，0)∴a＝

y1?t

x1+ p 2

，b＝

?t

p

，c＝

y2?t

x2+ p 2

；且x1＝

y 2 1

2p

，x2＝

y 2 2

2p

故a+c＝

y1?t

x1+ p 2

+

y2?t

x2+ p 2

＝

y1?t

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