Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g(x)＝?x2+2bx+3．当a＝?13时，

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g(x)＝?x2+2bx+3．当a＝?13时，若对任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），求实数b取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，由f′（x）=0，得x2＝?

a+1

2a

，
∵x＞0，∴x=

? a+1 2a

，
当x∈（0，

? a+1 2a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（

? a+1 2a

，+∞）时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，

? a+1 2a

）上单调递增；在（

? a+1 2a

，+∞）上单调递减．
（2）当a=-

1

3

时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=

2

3

，
欲使符合条件的f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需存在g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

即可，
∴存在x∈[1，2]使得不等式-x²+2bx+3≥

2

3

成立，
则由2bx≥x2?

7

3

，得到2b≥x?

7

3x

，
∵x-

7

3x

在[1，2]上有最小值-

4

3

，
因此2b≥?

4

3

，故b≥?

2

3

．