Question

求两道高中数学题，

1．已知函数f(x)=ln(x+1)-x,求函数f(x)的单调递减区间；2.已知n大于等于0，试用分析法证明：(根号n+2)-(根号n+1)<(根号n+1)-(根号n)注：原题没有括号，是我加上去的。会作一题也好，拜托了…

Answer 1

1．函数f(x)=ln(x+1)-x 定义域为﹙﹣1，﹢∞﹚
f′(x)=1/﹙x＋1﹚－1
＝﹣x/﹙x＋1﹚
所以当﹣1＜x＜0时， f′(x﹚＞0 f﹙x﹚单调递增
当x≧0时，f′(x﹚＜0 f﹙x﹚单调递减
所以f(x)的单调递减区间为[0，﹢∞﹚

2. 证明∶要证√n＋2－√n＋1＜√n＋1－√n
即证√n＋2＋√n＜2√n＋1
﹙√n＋2＋√n﹚²＝2n＋2＋2√n﹙n＋2﹚
﹙2√n＋1﹚²＝4n＋4
而﹙2√n＋1﹚²－﹙√n＋2＋√n﹚²
＝4n＋4－[2n＋2＋2√n﹙n＋2﹚]
＝2n＋2－2√n﹙n＋2﹚
＝n＋﹙n＋2﹚－2√n﹙n＋2﹚
＞2√n﹙n＋2﹚－2√n﹙n＋2﹚
＝0
∴﹙2√n＋1﹚²＞﹙√n＋2＋√n﹚²
∴√n＋2＋√n＜2√n＋1
∴√n＋2－√n＋1＜√n＋1－√n

Answer 2

解：1 ，ln（x+1)的定义域为（x>-1）
因为f(x)的导数为1/(x+1)-1
所以f(x)的单调递减区间即：（1/（x+1）-1<=0解得x>=o或x<=-1
综上所述
f(x)的单调递减区间为（x>=0)
2 注：sqrt=根号
sqrt(n+2)-sqrt(n+1)<sqrt(n+1)-sqrt(n)
所以 sqrt(n+2)+sqrt(n)<2sqrt(n+1)
两边同时平方化简得；
sqrt(n^2+2*n)<(n+1)
两边同时平方
n^2+2*n<(n+1)^2
得 0<1
成立
所以sqrt(n+2)-sqrt(n+1)<sqrt(n+1)-sqrt(n)

Answer 3

1.令f'=1/(1+x)-1<0,得递减区间（0，+无穷）

Answer 4

自己想一下

Answer 5

高手还真不少啊