Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5,5]

用a表示函数f（x)在区间[-5,5]上的最值，求讲解，谢谢您！

Answer 1

f(x)=(x+a)²-a²+2
对称轴x=-a，开口向上

-5和5中点是0
所以
-a>=5
即
a<=-5，此时递减
所以最大是f(-5)=27-10a，最小是f(5)=27+10a
其他同理

所以
a<=-5，最大是f(-5)=27-10a，最小是f(5)=27+10a
-5<a<=0，最大是f(-5)=27-10a，最小是f(a)=-a²+2
0<a<=5，最大是f(5)=27+10a，最小是f(a)=-a²+2
a>=5，最大是f(5)=27+10a，最小是f(-5)=27-10a

Answer 2

f(x)=(x+a)²+2-a²
开口向上，对称轴为x=-a,讨论对称轴与区间[-5,5]的相对位置：
1）若-a<-5, 即a>5, 则函数在区间单调增，最小值为f(-5)=27-10a; 最大值为f(5)=27+10a;
2) 若-a>5,即a<-5, 则函数在区间单调减，最小值为f(5)=27+10a, 最大值为f(-5)=27-10a;
3) 若-5=<-a<0,即0<a<=5, 则最小值为f(-a)=2-a²; 最大值为f(5)=27+10a;
4) 若0=<-a<=5,即-5=<a<=0, 则最小值为f(-a)=2-a²;最大值为f(-5)=27-10a.