Question

已知函数f（x）＝ax-1/a-（a+1）lnx（a＜1）①讨论函数f（x）的单调区间②若 0＜a＜1/e,试证对区间［1...

已知函数f（x）＝ax-1/a-（a+1）lnx（a＜1）①讨论函数f（x）的单调区间②若
0＜a＜1/e,试证对区间［1
,e］上的任意x1,x2,总有|f（x1）-f（x2）|＜1/e成立

Answer 1

解：① f'(x)=(ax-a-1)/x，x＞0
∴当0＜a＜1时，令f'(x)＞0得x＞1+1/a，令f'(x)＜0得0＜x＜1+1/a，此时f(x)的增区间为(1+1/a，+∞)
减区间为(0，1+1/a)
当a=0时，f'(x)=-1/x＜0，f(x)在定义域上递减
当a＜0时，令f'(x)＞0得0＜x＜1+1/a，令f'(x)＜0得x＞1+1/a，此时f(x)的减区间为(1+1/a，+∞)
增区间为(0，1+1/a)
② 由已知，a∈(0,1)，由①知，此时f(x)的减区间为(0，1+1/a)，
又1/a∈(e，+∞)，1+1/a＞e
∴f(x)在[1，e]上递减，最大值为f(1)=a-1/a，最小值为f(e)=ae-1/a-a-1，
所以对任意x1,x2,总有|f（x1）-f（x2）|＜f(1)-f(e)=(2-e)a+1＜(2-e)·1/e+1=2/e
即|f(x1)-f(x2)|＜2/e