Question

已知函数f(x)=根号3sinxcosx+cos2x+1

解决
已知函数f(x)=根号sinxcosx+cos2x+1 （1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间
描述里的题目有错误 以标题为主

Answer 1

解：
f(x)=(√3)sinxcosx+cos2x+1
f(x)=(√3)(2sinxcosx)/2+cos2x+1
f(x)=(√3/2)sin2x+cos2x+1
f(x)=(√7/2)[(√3/2)(2/√7)sin2x+(2/√7)cos2x]+1
f(x)=(√7/2)[(√3/√7)sin2x+(2/√7)cos2x]+1
令：√3/√7=cosα，则：2/√7=sinα，代入f(x)，有：
f(x)=(√7/2)(cosαsin2x+sinαcos2x)+1
f(x)=(√7/2)sin(2x+α)+1
1、最小正周期：
2π/2=π
2、单调递减区间：
f(x)=(√7/2)sin(2x+α)+1
f'(x)=(√7)cos(2x+α)
令：f'(x)＜0，即：(√7)cos(2x+α)＜0，
整理，有：cos(2x+α)＜0
解得：kπ+(π-2α)/4＜x＜kπ+(3π-2α)/4
f(x)的单调减区间是：x∈(kπ+(π-2α)/4，kπ+(3π-2α)/4)，
其中：k=0、±1、±2、……；αarcsin(2/√7)=arcsin(2√7/7)。

Answer 2

因为V3sinxcosx=V3/2*sin2x，所以估计cos2x前应有1/2

Answer 3

解：依题意得：原式=f(x)=√3sinxcosx+cos2x+1=(√3/2)sin2x+cos2x+1=[(√7)/2][(√3/√7)sin2x+(2/√7)cos2x]+1=[(√7)/2]sin(2x+α)+1， sinα=2/√7，cosα=√3/√7，α=arcsin(2/√7)所以有最小正周期为 T=派，单调递减区间应满足派/2+2k派≤2x+α≤3派/2+2k派，k∈Z解得 π/4-arcsin(2/√7)+k派≤x≤3派/4+arcsin(2/√7)+k派

Answer 4

f(x)=3^0.5/2 sin2x+cos2x+1=sin(2x+π/3)+1

周期为π
单调递减区间【kπ+π/12，kπ+7π/12】 k属于Z