Question

帮忙解释一下什么是反常积分收敛，如下题:(为什么)

Answer 1

元旦快乐！Happy New Year ！

1、反常积分 = Improper Integral
就是不属于平常的积分，具体体现在两方面：
第一方面：积分上限、或下限、或同时上限或下限，是正无穷大或负无穷大；
另一方面：积分区域包含奇点(singlarity)，也就是被积函数出现无穷大的情况。

2、A的上限是无穷大、下限是负无穷大；D的上限是正无穷大，它们属于反常积分。
当 x = 0，B的被积函数为无穷大，左极限是负无穷大，右极限是正无穷大；
当 x = -1，C的被积函数是正无穷大，正的原因是 -1 的右极限所致。
所以，B、C，也是反常积分。

3、反常积分是不是收敛的判断方法，就是在没有无穷型间断点的区域上积分后，
将积分的上下限代入，若可以直接算就直接算；若不能直接算就取极限，极限
存在就收敛，极限不存在就不收敛。

4、C的积分是arcsinx，代入上限限后，结果是 0 - （-π/2）= π/2。
所以，C收敛。
这种方法，就是积分判断法 = Integral test 。

Answer 2

反常积分存在就是收敛，这实际上变成了求极限存不存在了