Question

已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为sn，数列{sn+1}是公比为2的等比数列。 ...

已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为sn，数列{sn+1}是公比为2的等比数列。
（1）求数列{an}的通项公式
（2）数列{sn}中是否存在不同三项sm，sn，sk为等差数列？若存在请求出满足一组m，n，k的值，若不存在请说明理由。
急需，大虾速解。

Answer 1

(1)S1+1=1+1=2，所以Sn+1=(S1+1)*2^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n，所以Sn=2^n-1
所以an=Sn-S(n-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1) (n≥2)
当n=1时，a1=2^(1-1)=1，符合此式。所以数列{an}的通项公式是an=2^(n-1) (n∈N+)
(2)假设存在不同三项Sm，Sn，Sk为等差数列，并假设m<n<k，则2Sn=Sm+Sk，即2(2^n-1)=(2^m-1)+(2^k-1)，即2^(n+1)=2^m+2^k=2^m[1+2^(k-m)]，即2^(n+1-m)=1+2^(k-m)，显然不成立，因为2^(n+1-m)是一个偶数，而1+2^(k-m)是一个奇数，等式显然不成立，所以不存在这样的一组m、n、k满足要求。

Answer 2

(1)设Hn=sn+1，则H1=s1+1=2;
Hn=2*2^(n-1)=2^n
sn=2^n-1
n>=2时，
an=sn-s(n-1)
=2^n-1-[2^(n-1)-1]
=2^(n-1)
n=1时也满足上述公式，所以
an=2^(n-1)

(2)
由(1)知，sn=2^n-1
假设存在m,k,n满足
sm+sk=2sn且m!=k
则
2^m-1 + 2^k-1 = 2(2^n-1)
2^m + 2^k = 2^(n+1)
则2^m[2^(m-k)+1]=2^(n+1)
若成立，则2^(m-k)+1一定是偶数，所以2^(m-k)=1，从而得到m=k，与已知矛盾