Question

（2012?石景山区一模）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平

（2012?石景山区一模）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，∴B₁C₁⊥平面AA₁B₁B；
∵A₁B?平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥A₁B．                 …（2分）
又∵正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，且B₁C₁、AB₁是平面ADC₁B₁内的相交直线
∴A₁B⊥平面ADC₁B₁．…（4分）
∵A₁B?平面A₁BE，∴平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE．…（6分）
（Ⅱ）当点F为C₁D₁中点时，可使B₁F∥平面A₁BE．…（7分）
证明如下：
∵△C₁D₁D中，EF是中位线，∴EF∥C₁D且EF=

1

2

C₁D，…（9分）
设AB₁∩A₁B=O，则平行四边形AB₁C₁D中，B₁O∥C₁D且B₁O=

1

2

C₁D，
∴EF∥B₁O且EF=B₁O，
∴四边形B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE．…（11分）
∵B₁F?平面A₁BE，OE?平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE                                  …（13分）