Question

（2008?重庆）已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标

（2008?重庆）已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意，得

0＝16a?8a+c 4＝c

解得

a＝? 1 2 c＝4

（2分）
∴所求抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4．

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
由-

1

2

x²+x+4=0，
得x₁=-2，x₂=4
∴点B的坐标为（-2，0）
∴AB=6，BQ=m+2
∵QE∥AC
∴△BQE∽△BAC
∴

EG

CO

＝

BQ

BA

即

EG

4

＝

m+2

6

∴EG＝

2m+4

3

∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=

1

2

BQ?CO-

1

2

BQ?EG
=

1

2

（m+2）（4-

2m+4

3

）
=?

1

3

m2+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3
又∵-2≤m≤4
∴当m=1时，S