Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直线y

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为______．

Answer 1

解：当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），
当1≤x≤2时，f（x）=f（x-1）+f（1）=（x-1）²+1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，
∴x＞0时，两个函数的图象，只有2个交点，如图：
设切点为（a，f（a））．
f′（x）=2x-2．
则：

a2?2a+2

a

＝2a?2，解得a=

2

．
∴k=2

2

?2．
此时有两个交点，x＜0时，也有两个交点，x=0也是交点，
∴k=2

2

?2时有5个交点．
故答案为：2

2

-2