已知函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14.(1)求a的值;(2)求函数y=a x2?4的单调

已知函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14.(1)求a的值;(2)求函数y=ax2?4的单调区间.... 已知函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14.(1)求a的值;(2)求函数y=a x2?4的单调区间. 展开
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窝窝军团Tobi夏
2014-11-15 · TA获得超过320个赞
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(1)令t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2,
当a>1时,∵x∈[-1,1],则t∈[
1
a
,a],
∴函数在[
1
a
,a]上是增函数,
∴当t=a时,函数取到最大值14=a2+2a-1,
解得a=3或-5(舍),则a的值为3.
当0<a<1时,则t=ax是减函数,
所以0<a<t<a-1
所以y的图象都在对称轴t=-1的右边,开口向上 并且递增
所以t=a-1时有最大值
所以y=(a-1+1)2-2=14,解得a=
1
3
,符合0<a<1
故a的值为3或
1
3

(2)由(1)知,a的值为3或
1
3

当a的值为3时,y=a x2?4= 3x2?4
则函数 y=3x2?4分解成两部分:f(U)=3U外层函数,U=x2-4是内层函数.
根据复合函数的单调性,可得函数y=3U单调增函数,
则函数 y=3x2?4单调递增区间就是函数y=x2-4单调递增区间;
函数 y=3x2?4单调递减区间就是函数y=x2-4单调递减区间;
∴函数 y=3x2?4单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
当a的值为
1
3
时,y=a x2?4=34?x2
则函数y=34?x2分解成两部分:f(U)=3U外层函数,U=4-x2是内层函数.
根据复合函数的单调性,可得函数y=3U单调增函数,
则函数y=34?x2单调递增区间就是函数y=4-x2单调递增区间;
函数y=34?x2单调递减区间就是函数y=4-x2单调递减区间;
∴函数y=34?x2单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(0,+∞).
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