Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角B-DC1-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC…（2分）
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC…（3分）
∵AC∩CC₁=C，AC、CC₁?平面ACC₁A₁
∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵D₁C?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC；…（5分）
（II）∵AC=BC=

1

2

AA₁，∴令AC=a，Rt△ACD中，CD=

AC2+AD2

=

2

a
同理可得C₁D=

2

a，结合CC₁=2a得CD²+C₁D²=CC₁²
∴△CC₁D是以CC₁为斜边的直角三角形，即CD⊥C₁D…（8分）
∵BC⊥平面ACC₁A₁，C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D
∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴C₁D⊥平面BCD…（11分）
∵BD?平面BCD，∴C₁D⊥BD
因此，∠BDC就是二面角B-DC₁-C的平面角…（13分）
Rt△BDC中，DC=

2

a，BC=a，BD=

3

a
∴cos∠BDC=

DC

BD

=

6

3

，即二面角B-DC₁-C的余弦值等于

6

3

…（15分）