Question

如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电

如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上．现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以一定范围的速度v（0≤v≤EB）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：（1）速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．（2）磁场区域的最小面积．

Answer 1

（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t₁，

由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

，解得：R=

mv

qB

，
T=

2πm

qB

，t₁=

1

3

T，
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，
设匀速运动的距离为s，匀速运动的时间为t₂，
由几何关系知：s=

R

tanθ

，t₂=

s

v

，
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t₃，
则：

3

2

R=

1

2

qE

m

t₃²，
又由题知：v=

E

B

，
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间为：
t=t₁+t₂+t₃=

2(3 3 +π)m

3qB

；
 （2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积，扇形OO′N的面积的面积S=

1

3

πR²，
△OO′N的面积为：S′=R²cos30°sin30°=

3

4

R²，
△S=S-S′
解得：△S=

(4π?3 3 )m2E2

12q2B4

；
答：（1）速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间为

2(3 3 +π)m

3qB

．（2）磁场区域的最小面积为：

(4π?3 3 )m2E2

12q2B4

．