Question

一个高等代数问题，急求解答。

A,B是n阶复数方阵，A可逆，B幂零，且AB＝BA，证明A＋B是可逆矩阵

Answer 1

可以利用下一道我在贴吧答过的题：A、B是n阶方阵，若B幂零，且AB=BA，则A+B与A有相同特征值：
http://tieba.baidu.com/p/3117478398
前面的直接复制了…
若AB=BA，则A、B可同时相似上三角化（即存在可逆矩阵P使得P^（-1）AP、P^（-1）BP同为上三角矩阵，且对角线上元素分别为A、B的所有特征值）。记这两个上三角矩阵分别为A1、B1，则A+B与A1+B1相似，从而它们有完全相同的特征值，由B是幂零矩阵可知B、B1的全部特征值为0，则A1+B1的特征值等于A1的特征值，即A+B的特征值等于A的特征值，所以|A+B|=|A|，又|A|不等于0，从而|A+B|不等于0，所以A+B可逆