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设长方体三度为x,y,z.在条件①:2（xy+xz+yz）＝a²之下，求V＝xyz的最大值。
设F（x,y,z,μ）＝xyz+μ（2（xy+xz+yz）-a²）
②:F′x＝yz+2μ（y+z）＝0.
③:F′y＝xz+2μ（x+z）＝0.
④:F′z＝xy+2μ（x+y）＝0.
从②/③：y/x＝（y+z）/（x+z）,得到x＝y,同理y＝z.从①x＝a/√6
V的最大值＝a³/（6√6）
[初等方法：三个正数和为常数，相等时积最大：
xy+yz+xz＝a²/2,xy＝yz＝xz,即x＝y＝z时，积（xyz）²最大，
此时，x＝a/√6,x³＝a³/（6√6）.]
设F（x,y,z,μ）＝xyz+μ（2（xy+xz+yz）-a²）
②:F′x＝yz+2μ（y+z）＝0.
③:F′y＝xz+2μ（x+z）＝0.
④:F′z＝xy+2μ（x+y）＝0.
从②/③：y/x＝（y+z）/（x+z）,得到x＝y,同理y＝z.从①x＝a/√6
V的最大值＝a³/（6√6）
[初等方法：三个正数和为常数，相等时积最大：
xy+yz+xz＝a²/2,xy＝yz＝xz,即x＝y＝z时，积（xyz）²最大，
此时，x＝a/√6,x³＝a³/（6√6）.]
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11111
2024-12-31 广告
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