Question

两个自然数的和是60，它们的最大公因数和最小公倍数的和是84，两数分别是多少？（只要算式）

Answer 1

解；
甲数 = 两个数的最大公约数 × 甲独有的质因数
乙数 = 两个数的最大公约数 × 乙独有的质因数
两数的最小公倍数 = 最大公约数 × 甲独有的质因数 × 乙独有的质因数
两个数的和（60）= 两个数的最大公约数 × 甲、乙独有的质因数的和 …… ①
最大公约数与最小公倍数的和
（84）= 两个数的最大公约数 + 最大公约数 × 甲独有的质因数 × 乙独有的质因数
= 两个数的最大公约数 × （1 + 甲、乙独有的质因数的积） …… ②
比较①、②，可发现，这两个数的最大公约数可能就是60与84的最大公约数

84=2*3*4*4
60=2*2*3*5

这个两个数的最大公约数是12
所以，84=12*（1+6）,60=12*5
所以，两个独有的质因数分别是2,3
所以，这两个数是24与36.

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Answer 2

设这两个数为ad和bd, 其中gcd(a,b)=1, 则
ad+bd=60
abd+d=84
因为d | 60, d | 84, 所以d | gcd(60,84)=12,(上面各位在此就得出d=12, 不充分)
不妨设c=12/d, 则
a+b=5c
ab=7c-1
所以a, b 是方程X²-5cX+(7c-1)=0的两根。
由于根是整数，所以方程的判别式△=25c²-28c+4应该是个完全平方数。
将c=1,2,3,4,6,12逐一代入检验知，只有c=1时△=1为平方数，这时d=12, 方程为
X²-5x+6=0, 解得a=2, b=3, 所以两数为24，36

Answer 3

第一种（互质数情况）：将两数的最大公约数与最小公约数的和减去1后，分解成两个互质数相乘的形式。
第二种（倍数关系）：将两个数的和分解成1倍数与几倍数和的形式。
第三种（楼主题目）：求两个数最大公约数和最小公倍数的最大公约数，这时的最大公约数就是这两个自然数的最大公约数。

甲数 = 两个数的最大公约数 × 甲独有的质因数
乙数 = 两个数的最大公约数 × 乙独有的质因数
两数的最小公倍数 = 最大公约数 × 甲独有的质因数 × 乙独有的质因数
两个数的和（60）
= 两个数的最大公约数 × 甲、乙独有的质因数的和 …… ①
最大公约数与最小公倍数的和（84）
= 两个数的最大公约数 + 最大公约数 × 甲独有的质因数 × 乙独有的质因数
= 两个数的最大公约数 × （1 + 甲、乙独有的质因数的积） …… ②
比较①、②，可发现，这两个数的最大公约数可能就是60与84的最大公约数
求出两个数的最大公约数是12后，再结合①、②分析，找出各自独有的质数，最后找出这两个数。

两个数是24与36.

Answer 4

两个自然数是a,b
最大公因数是c 最小公倍数是d
a+b=60
c+d=84
c*d=a*b

Answer 5

最小公倍数=最大公因数*甲的独有质因数之积*乙的独有质因数之积
最大公因数和最小公倍数的和=最大公因数+最大公因数*甲的独有质因数之积*乙的独有质因数之积
=最大公因数*（甲的独有质因数之积*乙的独有质因数之积+1）=84
两个自然数的和=最大公因数*甲的独有质因数之积+最大公因数*乙的独有质因数之积
=最大公因数*（甲的独有质因数之积+乙的独有质因数之积）=60
所以甲乙两数的最大公因数为84、60的最大公因数：12
84/12=7=甲的独有质因数之积*乙的独有质因数之积+1
所以甲的独有质因数之积*乙的独有质因数之积=7-1=6
60/12=5=甲的独有质因数之积+乙的独有质因数之积
所以甲的独有质因数之积+乙的独有质因数之积=5
所以甲乙独有的质因数为3、2
所以甲乙两数分别为12*3=36，,12*2=24