已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，（Ⅰ）求b的
已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2，x3是f（x）的3个极...
已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2，x3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某种排列xi1，xi2，xi3，xi4（其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由．
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f′（x）=ex（x-a）[x2+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，
则△=（3-a+b）2-4（2b-ab-a）=（a+b-1）2+8＞0，
于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．
（1）当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．
（2）当x1≠a且x2≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x1＜a＜x2．
即g（a）＜0
即a2+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0
所以b＜-a
所以b的取值范围是：（-∞，-a）
（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，则
③当x2-a=a-x1时，则x4=2x2-a或x4=2x1-a，于是2a=x1+x2=a-b-3，即b=-a-3．
此时x4=2x2-a=a-b-3+
-a=a+2
，
或x4=2x1-a=a-b-3-
-a=a-2
，
④当x2-a≠a-x1时，则x2-a=2（a-x1）或a-x1=2（x2-a），
（ⅰ）若x2-a=2（a-x4），则x4=
，于是3a=2x1+x2=
，
即
=-3（a+b+3），于是a+b-1=
令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，
则△=（3-a+b）2-4（2b-ab-a）=（a+b-1）2+8＞0，
于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．
（1）当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．
（2）当x1≠a且x2≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x1＜a＜x2．
即g（a）＜0
即a2+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0
所以b＜-a
所以b的取值范围是：（-∞，-a）
（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，则
③当x2-a=a-x1时，则x4=2x2-a或x4=2x1-a，于是2a=x1+x2=a-b-3，即b=-a-3．
此时x4=2x2-a=a-b-3+
| (a+b?1)2+8 |
| 6 |
或x4=2x1-a=a-b-3-
| (a+b?1)2+8 |
| 6 |
④当x2-a≠a-x1时，则x2-a=2（a-x1）或a-x1=2（x2-a），
（ⅰ）若x2-a=2（a-x4），则x4=
| a+x2 |
| 2 |
3(a?b?3)?
| ||
| 2 |
即
| (a+b?1)2+8 |
?9?
|
