Question

设函数f（x）满足 x 2 f′(x)+2xf(x)= e x x ，f（2）= e 2 8 ，则x

设函数f（x）满足 x 2 f′(x)+2xf(x)= e x x ，f（2）= e 2 8 ，则x＞0时，f（x）（　　） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

Answer 1

∵函数f（x）满足 x 2 f′(x)+2xf(x)= e x x ， ∴ [x 2 f(x)]′= e x x ∴x＞0时， x 2 f(x)= ∫ +∞0 e x x dx ∴ f(x)= ∫ +∞0 e x x dx x 2 ∴ f′(x)= e x -2 ∫ +∞0 e x x dx x 3 令g（x）= e x -2 ∫ +∞0 e x x dx ，则 g′(x)= e x - 2 e x x = e x (1- 2 x ) 令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增 ∴g（x）在x=2时取得最小值 ∵f（2）= e 2 8 ，∴g（2）= e 2 -2×4× e 2 8 =0 ∴g（x）≥g（2）=0 ∴ f′(x)= e x -2 ∫ +∞0 e x x dx x 3 ≥0 即x＞0时，f（x）单调递增 ∴f（x）既无极大值也无极小值 故选D．