Question

（1）设一次函数f（x）满足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；（2）若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域

（1）设一次函数f（x）满足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；（2）若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a＜b），则称函数f（x）是[a，b]上的“方正”函数．①设 g(x)= 1 2 x 2 -x+ 3 2 是[a，b]上的“方正”函数，求常数a，b的值．②问是否存在常数a，b（a＞-2），使函数 h(x)= 1 x+2 是区间[a，b]上的“方正”函数？若存在，求出a，b的值；不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设f（x）=mx+n（m≠0），又f（3）=2，f（2）=3， 所以3m+n=2，2m+n=3?m=-1，n=5 即f（x）=-x+5?f（5）=0；…（4分） （2）①由 g(x)= 1 2 (x-1 ) 2 +1≥1 知g（x）在[a，b]上单调增函数且a≥1， 所以值域为[g（a），g（b）]， 由已知 g(x)= 1 2 x 2 -x+ 3 2 是[1，b]上的“方正”函数，所以[g（a），g（b）]=[a，b] 则g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的两个根（1≤a＜b） 解方程 1 2 x 2 -x+ 3 2 =x 得x=1或x=3，所以a=1，b=3…（9分） ②假设存在常数a，b，使函数 h(x)= 1 x+2 是区间[a，b]上的“方正”函数． 因a＞-2，显然 h(x)= 1 x+2 在区间[a，b]上是单调减函数，值域为[h（b），h（a）]=[a，b]， 即 h(a)=b h(b)=a ? 1 a+2 =b 1 b+2 =a ? (a+2)b=1 (b+2)a=1 ?(a+2)b=(b+2)a?a=b 与a＜b矛盾， 故不存在常数a，b，使函数 h(x)= 1 x+2 是区间[a，b]上的“方正”函数．…（14分）