Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且在点Pn（n，

已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且在点Pn（n，Sn）处的切线的斜率为Kn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝2Knan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*）．…（3分）
当n=1时，a₁=S₁=1+2=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1   ①
当n=1时，a₁=3也满足①式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．…（6分）
（2）由f（x）=x²+2x求导可得f′（x）=2x+2．
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为K_n，
∴K_n=2n+2．…（8分）
又∵bn＝2Kn?an，
∴b_n=2²ⁿ⁺²（2n+1）=4（2n+1）?4ⁿ，
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）?4ⁿ ①
由①×4得：∴4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）?4ⁿ⁺¹ ②
①-②得-3T_n=4×（3×4+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-（2n+1）4ⁿ⁺¹）
=4×（12+2×

16×(1?4n?1)

1?4

-（2n+1）4ⁿ⁺¹）=

4

3

?

1

3

×(6n+1)4n+1
所以 T_n=

1

9

×(6n+1)44n+1?

4

9

…（12分）