Question

已知抛物线pa：y=x2+ax+a-2（a为实常数）．（1）求所有抛物线pa的公共点坐标；（2）当实数a取遍一切实数

已知抛物线pa：y=x2+ax+a-2（a为实常数）．（1）求所有抛物线pa的公共点坐标；（2）当实数a取遍一切实数时，求抛物线pa的焦点方程．【理】（3）是否存在一条以y轴为对称轴，且过点（-1，-1）的开口向下的抛物线，使它与某个pa只有一个公共点？若存在，求出所有这样的a；若不存在，说明理由．【文】（3）是否存在直线y=kx+b（k，b为实常数），使它与所有的抛物线pa都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当a取不同实数时，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2
可得x²+ax+a-2=x²+bx+b-2
∴（a-b）x=b-a，x=-1代入可得，y=-1
当a取不同实数时，所有抛物线p_a的公共点坐标（-1，-1）
（2）由y=x²+ax+a-2可得，y=(x+

a

2

)2-(

a2

4

+2-a)
∴抛物线的焦点为：（

a

2

，

9+a2-4a

4

）
（3）在满足条件的抛物线例如可设抛物线方程为x²=-2py（p＞0）
由抛物线过点（-1，-1）可得p=

1

2

，此时抛物线方程为x²=-y
联立方程

x2=-y y=x2+ax+a-2

整理可得2x²+ax+（a-2）=0
若a=4时，此时△=a²-8a+16=（a-4）²=0
即x²=-y与P₄：y=x²+4x+2只有一个公共点
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒过定点（-1，-1）
则只要直线y=kx+b过定点（-1，-1）即可
此时b=k-1，y=kx+k-1即y+1=k（x+1）满足条件
故存在这样的直线