如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为边长为2的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点,PA=AB.(
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为边长为2的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点,PA=AB.(Ⅰ)证明:AE⊥PD;(Ⅱ)若F为PD上的...
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为边长为2的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点,PA=AB.(Ⅰ)证明:AE⊥PD;(Ⅱ)若F为PD上的动点,求EF与平面PAD所成最大角的正切值.
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解:(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,
所以△ABC为正三角形.
E为BC中点,故AE⊥BC;
又因为AD∥BC,所以AE⊥AD.…(3分)
因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
所以PA⊥AE.…(5分)
故AE⊥平面PAD,又PD?平面PAD,
所以AE⊥PD.…(7分)
(Ⅱ)连结AF,由(Ⅰ)知AE⊥平面PAD,
所以∠AFE为EF与平面PAD所成的角.…(10分)
在Rt△AEF中,AE=
,∠AFE最大当且仅当AF最短,
即AF⊥PD时,∠AFE最大.…(12分)
依题意,此时,在Rt△PAD中,PA?AD=PD?AF,
所以AF=
,tan∠AFE=
=
.
所以,EF与平面PAD所成最大角的正切值为
.…(15分)
所以△ABC为正三角形.
E为BC中点,故AE⊥BC;
又因为AD∥BC,所以AE⊥AD.…(3分)
因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
所以PA⊥AE.…(5分)
故AE⊥平面PAD,又PD?平面PAD,
所以AE⊥PD.…(7分)
(Ⅱ)连结AF,由(Ⅰ)知AE⊥平面PAD,
所以∠AFE为EF与平面PAD所成的角.…(10分)
在Rt△AEF中,AE=
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即AF⊥PD时,∠AFE最大.…(12分)
依题意,此时,在Rt△PAD中,PA?AD=PD?AF,
所以AF=
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AE |
AF |
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所以,EF与平面PAD所成最大角的正切值为
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