对于数列{xn}满足x1=a（a＞2），xn+1=x2n2(xn?1)（n=1，2，…）．（1）求证：2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…
对于数列{xn}满足x1=a（a＞2），xn+1=x2n2(xn?1)（n=1，2，…）．（1）求证：2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）；（2）若a≤3，{xn}前...
对于数列{xn}满足x1=a（a＞2），xn+1=x2n2(xn?1)（n=1，2，…）．（1）求证：2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）；（2）若a≤3，{xn}前n项和为Sn，求证：Sn＜2n+a2（n=1，2，…）
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证明：（1）（数学归纳法）先证：xn＞2．
∵当n=1时，x1=a＞2成立
假设n=k时，xk＞2．
则：xk+1=
=
?
=
[（xk-1）+
+2]＞
×4=2
∴xn＞2
又：xn+1-xn=
-xn=
＜0
∴xn＞xn+1，
就是说n=k+1时2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）也成立．
综上知：2＜xn+1＜xn
（2）xn+1-2=
-2=
=
?（xn-2）
∵2＜xn≤x1≤3
∴
＝
[1-
]≤
?（1-
）=
∴xn+1-2≤
∵当n=1时，x1=a＞2成立
假设n=k时，xk＞2．
则：xk+1=
| ||
| 2(kx?1) |
| 1 |
| 2 |
| [(xk?1)+1]2 |
| xk?1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| xk?1 |
| 1 |
| 2 |
∴xn＞2
又：xn+1-xn=
| ||
| 2(xn?1) |
| xn(2?xn) |
| 2(xn?1) |
∴xn＞xn+1，
就是说n=k+1时2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）也成立．
综上知：2＜xn+1＜xn
（2）xn+1-2=
| ||
| 2(xn?1) |
| (xn?2)2 |
| 2(xn?1) |
| xn?2 |
| 2(xn?1) |
∵2＜xn≤x1≤3
∴
| xn?2 |
| 2(xn?1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| xn?1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴xn+1-2≤
| 1 |
