Question

抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OAOB＝31，求m的值

抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OAOB＝31，求m的值．

Answer 1

设A（x₁，0），B（x₂，0），当A和B在异侧时，
∵

OA

OB

＝

3

1

，
∴OA=3OB，
∴x₁=3×（-x₂）=-3x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=-（m+3），
解得：x₂=-（m+1），x₁=3（m+1），
∴x₁x₂=[-（m+1）][3（m+1）]=-（m+3），
整理得：3m²+6m+3=m+3，即3m²+5m=0，
∴m（3m+5）=0，
解得：m=0，m=-

5

3

，
把m=0代入到原方程整理得：-x²+2x+3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x₁=3，x₂ =-1．
把m=-

5

3

代入到原方程整理得：-x²-

4

3

x+

4

3

=0，
整理得：3x²+4x-4=0，
△=16+4×3×4＞0，有解，
∴m=-

5

3

，
∴m=0．当A和B在异侧时，
当A和B在同侧时，

OA

OB

＝

3

1

，
∴OA=3OB，
∴x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=-（m+3），
解得：x₂=

m+1

2

，x₁=

3(m+1)

2

，
∴

m+1

2

×

3(m+1)

2

=-（m+3），
整理得：3m²+10m+15=0，
∴△=100-4×3×15＜0，无解；
∴m=0．