在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重合）
在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重合），过点P作MN∥BC并交AC于点M，交EF于点...
在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重合），过点P作MN∥BC并交AC于点M，交EF于点N，作PD⊥PC，交直线EF于点D．（1）若点D在线段NB上（如图1）求证：△PCM≌△DPN；（2）若点D在线段NB延长线上（如图2）且BP=BD，求AP的长；（3）设AP=x，且P、C、D、B为顶点的四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．
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解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，
∴AC∥EF．
又∵MN∥BC，
∴四边形MCBN是矩形，
∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠PBN=∠NPB=45°，
∴NP=NB．
∴MC=NP．
又∵PD⊥PC，
∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
在△PCM与△DPN中，
，
∴△PCM≌△DPN（ASA）；
解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
∴AB=
．
同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．
∵∠A=∠PBN=45°，
∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
∴AM=PM，PN=NB，
∴AP=
AM，BP=
BN=
MC．
∵BP=BD，
∴ND=NB+BD=MC+
MC=MP=AM，即1-AM+
（1-AM）=AM，
解得，AM=
，
∴AP=
AM=1；
（3）①若点D在线段NB上（如图1），S四边形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-
x）-2×
×（1-
x）×
x=
x2?
x+1，即y=
x2?
x+1；
②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．
S四边形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=
（MC+AM）?BC-
AM?MC-
MC?MC=
×1×1-
×
x×（1-
x）-
（1-
∴AC∥EF．
又∵MN∥BC，
∴四边形MCBN是矩形，
∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠PBN=∠NPB=45°，
∴NP=NB．
∴MC=NP．
又∵PD⊥PC，
∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
在△PCM与△DPN中，
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∴△PCM≌△DPN（ASA）；
解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
∴AB=
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同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．
∵∠A=∠PBN=45°，
∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
∴AM=PM，PN=NB，
∴AP=
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∵BP=BD，
∴ND=NB+BD=MC+
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解得，AM=
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∴AP=
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（3）①若点D在线段NB上（如图1），S四边形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-
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②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．
S四边形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=
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