Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高。

1）DE，DF，CG的长度之间存在着怎样的数量关系？并说明理由；（2）若D在底边BC的延长线上，则第（1）题的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的数量关系？请画图说明理由。

Answer 1

（1)过C做CM⊥EM,交ED的延长于M
∵AB⊥ED(EM) CM⊥EM CG⊥AB
∴CM∥AB 四边形GCME是矩形 ∠M=90°
∴∠B=∠BCM CG=EM
又∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠ACB
∴∠BCM =∠ACB
∵DF⊥AC
∴∠DFC=90°
∴∠M= ∠DFC =90°
在Rt△DFC和Rt△DCM中
∠BCM =∠ACB DC=DC
∴Rt△DFC≌Rt△DCM
∴DM=DF
∴CG=EM=DE+DF
(2)第（1）题的结论不成立，
过C做CM⊥EM,交ED于M
∵AB⊥ED CM⊥ED CG⊥AB
∴CM∥AB 四边形GCME是矩形 ∠CMD=90°
∴∠B=∠DCM CG=EM
又∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠ACB
∵∠ACB=∠DCF（对顶角）
∴∠DCM =∠ACB=∠DCF
∵DF⊥AC
∴∠DFC=90°
∴∠CMD= ∠DFC =90°
在Rt△DFC和Rt△DCM中
∠BCM =∠ACB DC=DC
∴Rt△DFC≌Rt△DCM
∴DM=DF
∴DE=EM+DM=CG+DF

Answer 2

楼上第一问做得有些麻烦了
CG=DE+DF
证明：∵DE,DF分别为AB,AC上的垂线
∴∠BED=∠CFD=90°
∵AB=AC
∴∠EBD=∠FCD
在△EDB与△FDC中
∠BED=∠CFD=90°
∠EBD=∠FCD
∴△EDB相似于△FDC
∴ED/BD=DF/DC
∵CG是AB边上的高，ED⊥AB
∴ED∥GC
∴ED/BD=CG/BC
∴CG/BC=ED/BD=DF/DC=(ED+DF)/(BD+DC)=(ED+DF)/BC
∴CG=DE+DF