Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an=Sn/n(2n

Answer 1

已知数列{a n}的前n项和为Sn,其中an=Sn/n(2n-1),且a1=1/3.求：（1）an2,an3的值；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.'并用数学归纳法加以证明。

是这个题不

解：
（1），根据题意，a2=S2/（2*3）=（1/3+a2）/6=1/18+a2/6
解方程a2=1/18+a2/6，得a2=1/15
同理，a3=S3/（3*5）=（1/3+1/15+a3）/15=2/75+a3/15
解方程a3=2/75+a3/15，得a3=1/35

（2）由a1=1/3=1/（1*3），a2=1/15=1/（3*5），a3=1/35=1/（5*7），猜想
an=1/【（2n-1）（2n+1）】=1/（4n²-1） （n∈N）
证明：当n=1时，a1=1/（4*1²-1）=1/3，猜想成立。
假设n=k时，猜想成立，即ak=1/（4k²-1），那么
a（k+1）=S（k+1）/（k+1）（2（k+1）-1）=（Sk+a（k+1））/（k+1）（2k+1）
而Sk=ak*k（2k-1）=k（2k-1）/（4k²-1）=k/（2k+1）
∴ a（k+1）=（k/（2k+1）+a（k+1））/（k+1）（2k+1）
解方程a（k+1）=【k/（k+1）（2k+1）²】+a（k+1）/（k+1）（2k+1），化简，得
【（k+1）（2k+1）-1】a（k+1）=k/（2k+1）
（2k²+3k）a（k+1）=k/（2k+1）
∴ a（k+1）=1/（2k+1）（2k+3）=1/【4（k+1）²-1】
即n=k+1时，猜想也成立。
∴ 对任意自然数n，猜想都成立
所以，an=1/（4n²-1）

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