Question

如图，已知在四边形ABFC中∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．（1）试探究，四

如图，已知在四边形ABFC中∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形并证明之；（2）若四边形BECF的面积是6cm 2 且BC+AC= cm时．求AB．

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Answer 1

解：（1）四边形BECF是菱形． 证明：EF垂直平分BC， ∵BF=FC，BE=EC， ∴∠1=∠2，∴∠ACB=90°， ∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°， ∴∠3=∠4，EC=AE， ∴BE=AE，∴CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形． （2）由（1）可知四边形AEFC为平行四边形， ∴EF=AC，根据菱形的面积公式可知：BC×AC=6×2=12（cm） 2 ，又BC+AC= cm， （BC+AC） 2 ﹣2BC×AC=BC 2 +AC 2 =105﹣2×12=81（cm） 2 ， ∴AB=2BE=2× =9cm．