Question

如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90 0 ，抛物线 经过A、B、C三点，

如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90 0 ，抛物线 经过A、B、C三点，其顶点为M.求抛物线 的解析式；试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；在抛物线上是否存在点N，使得 ?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。





Answer 1

解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4， ∴△ACO∽△ABO 。∴ ，∴OC 2 =OA?OB=4。 ∴OC=2。∴点C（0，2）。 ∵抛物线 经过A、B两点， ∴设抛物线的解析式为： ，将C点代入上式，得： ，解得 。 ∴抛物线的解析式： ，即 。 （2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下： 如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。 由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD= AB。 由（1）知： ， 则点M（ ），ME= 。 而CE=OD= ，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。 又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。 ∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。 ∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。 （3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC= ， 则： 。 过点B作BF⊥BC，且使BF=h= ，过F作直线l∥BC交x轴于G。 Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO= ， BG=BF÷sin∠BGF= 。 ∴G（0，0）或（8，0）。 易知直线BC：y=  x+2，则可设直线l：y=  x+b， 将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则： 直线l：y=  x或y= x+4； 联立抛物线的解析式，得： ，或 。 解得 或 或 。 ∴抛物线上存在点N，使得 ，这样的点有3个： 。

二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。 【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。 （2）证明CM垂直于过点C的半径即可。 （3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。