Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜ 1 2 ，则不等式f（

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜ 1 2 ，则不等式f（log 2 x）＞ log 2 x+1 2 的解集为______．

Answer 1

设g（x）=f（x）- 1 2 x， ∵f′（x）＜ 1 2 ， ∴g′（x）=f′（x）- 1 2 ＜0， ∴g（x）为减函数，又f（1）=1， ∴f（log 2 x）＞ log x2 +1 2 = 1 2 log 2 x+ 1 2 ， 即g（log 2 x）=f（log 2 x）- 1 2 log 2 x＞ 1 2 =g（1）=f（1）- 1 2 =g（log 2 2）， ∴log 2 x＜log 2 2，又y=log 2 x为底数是2的增函数， ∴0＜x＜2， 则不等式f（log 2 x）＞ log 2 x+1 2 的解集为（0，2）． 故答案为：（0，2）