Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=32，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=32，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点，也随之停止运动．（1）从运动开始，两点运动多长时间时，PQ=CD？（2）从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）分两种情况：
①当P、Q运动到P₁D=Q₁C，P₁D平行且等于Q₁C，
此时四边形P₁DCQ₁是平行四边形，此时P₁Q₁=CD．
设运动时间为t秒，则AP₁=t，P₁D=24-t，CQ₁=3t，BQ₁=32-3t，
∵P₁D=CQ₁，
∴24-t=3t，
解得t=6，
即t=6时，P₁Q₁=CD；
②当P、Q运动到P₂，Q₂时，过D，P₂分别作DH⊥BC于H，P₂G⊥BC于G，
当Q₂G=HC=8时，△P₂Q₂G≌△DCH，此时P₂Q₂=CD．
∵CQ₂=CH+HG+GQ₂=CH+DP₂+GQ₂，
∴3t=8+（24-t）+8，
解得t=10．
综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，PQ=CD；

（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形．
如图．∵∠B=90°，AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
即t=32-3t，解得t=8，
此时AP=AB=8，
∴矩形ABQP为正方形，
所以当t=8时，四边形ABQP是正方形．