Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：①AGAB＝FGFB；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=23AB；⑤S△ABC=5S△BDF，其中正确结论有（　　）个．A．2B．3C．4D．5

Answer 1

依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

＝

FG

FB

又AB=BC，∴

AG

AB

＝

FG

FB

故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，

∠3＝∠4 AB＝BC ∠BAG＝∠CBD＝900

∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中，

AG＝AD ∠FAG＝∠FAD＝450 AF＝AF

∴△AFG≌△AFD（SAS），∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故结论②正确；
∵△AFG≌△AFD，∴FG=FD，又△FDE为直角三角形，∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即点F不是线段GE的中点．
故结论③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=

2

AB
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=

1

2

AB＝

1

2

BC
∵△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

＝

AF

FC

，
∴FC=2AF，
∴AF=

1

3

AC＝

2

3

AB，故结论④正确；
∵AF=

1

3

AC，
所以S_△ABF=

1

3

S_△ABC；又D为中点，∴S_△BDF=

1

2

S_△ABF，

∴S_△BDF=

1

6

S_△ABC，即S_△ABC=6S_△BDF．
故结论⑤错误．
综上所述，结论①②④正确，
故选B．