Question

设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点s，t，且s＜t．（1）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（2

设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点s，t，且s＜t．（1）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：f(t)＞1?2ln24．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′(x)＝2x+

a

1+x

＝

2x2+2x+a

1+x

，x＞-1．
令g（x）=2x²+2x+a，
其对称轴为x=-

1

2

，
由题意知s，t是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
∴

△＝4?8a＞0 g(?1)＞0

，解得0＜a＜

1

2

．
当x∈（-1，s）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（-1，s）上为增函数，
当x∈（s，t）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（S，T）上为减函数．
当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（t，+∞）上为增函数．
（2）证明：由题设和（1）知：g（0）=a＞0，
∴?

1

2

＜t＜0，
∵g（t）=0，
∴a=-2t²-2t=-2t（1+t），
∴f（t）=t²+aln（1+t）
=t²-2t（1+t）ln（n+t），
设h（x）=x2?2x(1+x)ln(1+x)，(x≥?

1

2

)
则h′（x）=-2（2x+1）ln（1+x），

当x∈[?

1

2

，0)时，h′（x）≥0，
∴h（x）在x∈[?

1

2

，0)上单调递增．
当-

1

2

＜x＜0时，
h（x）＞h（-

1

2

）=

1?2ln2

4

，
∴f(t)＝h(t)＞

1?2ln2

4

．