Question

已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（-1，0）时，f（x）=2x+2-x．（1）试求f（x）的表达式；（2

已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（-1，0）时，f（x）=2x+2-x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（-1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t?2x?f（x）＜4x-1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
设∈（0，1），则-x∈（-1，0），则
f（x）=-f（-x）
=-（2^x+2^-x），
故f（x）=

2x+2?x，x∈(?1，0) 0，x＝0 ?(2x+2?x)，x∈(0，1)

；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2x1+2?x1-（2x2+2?x2）
=

(2x1?2x2)(2x12x2?1)

2x12x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴2x1-2x2＜0，0＜2x12x2＜1，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）由题意，t?2^x?f（x）＜4^x-1可化为
t?2^x?（-（2^x+2^-x））＜4^x-1，
化简可得，t＞-

4x?1

4x+1

，
令g（x）=-

4x?1

4x+1

=-1+

2

4x+1

，
∵x∈（0，1），
∴g（x）＜-1+

2

40+1

=0，
故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t?2^x?f（x）＜4^x-1恒成立可化为
t≥0．