Question

抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π3，设线段AB的中点M

抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π3，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则|MN||AB|的最大值为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤(

a+b

2

)2，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-

3

4

（a+b）²=

1

4

（a+b）²
得到|AB|≥

1

2

（a+b）．
∴

|MN|

|AB|

≤1，
即

|MN|

|AB|

的最大值为1．
故选：A．