Question

（2012?普陀区二模）如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水

（2012?普陀区二模）如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量与B球的质量均为m=1kg，杆长L为=0.2m．（1）某同学用 mAgL＝12mAv2+12mBv2…，求得A球着地时的速度．你认为正确吗？若正确，请接着进行下面的计算；若不正确，请你给出正确的答案．（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大？（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？

Answer 1

（1）不准确，因为A球刚着地时，B球速度为零；
正确解法如下：设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得：mAgL＝

1

2

mAv2，解得v＝

2gL

＝2m/s；
（2）当A球机械能最小时，B球速度最大，此时B球的加速度为零，则杆对球的作用力为零，设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得：
N=m_Bg=10N；
（3）设满足题干条件时杆与竖直方向的夹角为θ，A、B两球的速度各为v_A、v_B，系统满足机械能守恒，则：
mAgL(1?cosθ)＝

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

且v_A和v_B沿杆方向分速度大小相等，即v_Acosθ=v_Bsinθ
联立以上两式解得：vB＝

2gL(1?cosθ)cos2θ

当A球机械能最小时，v_B达最大
上式可以写成：
vB＝

2gL(1?cosθ)cos2θ

令y=（1-cosθ）cos²θ，当y的导数y′=0时，A球机械能最小，v_B达最大值，即
sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=

2

3

即当cosθ=

2

3

时，v_B最大，亦即此时A球机械能最小．
答：（1）解法不正确，A的速度为2m/s；
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为10N；
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为

2

3

．