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p是射线y=3/5x(x>0)上的一点,若圆P的半径为5,且圆与y轴相切于点C,与x轴的正半轴交与点A,B (1)求以点P为
(2)在抛物线的对称轴上找一点E,是点E到B,C距离之差最大。并求出直线AE与抛物线的交点F的坐标:
(3)在(3)的条件下,Q是抛物线上一动点(直线EF的上方),是否存在点Q,是三角形AFQ的面积最大。若存在,求出点Q的坐标。 展开
(1)易知P坐标为(5,3)
设A点横坐标为t 由勾股定理有 (5-t)^2+3^2=5^2 t=1 或9
设抛物线的解析式为y=a(x-5)^2+3 把t=1代入,a=-3/16
所以抛物线的解析式为y=-3/16*(x-5)^2+3 即 y=-3/16*x^2+15/8*x-27/16
(2)B关于x=5对称点为A,所以EA=EB |EB—EC|=
|EA-EC|<=AC=根号(1*1+3*3)=根号(10) 当EA与EC共线时取等号
此时直线AC方程:y=-3x+3 代入y=-3/16*x^2+15/8*x-27/16
解得x1=1 y1=0 (1,0)即为A点 或x2=25 y2=-72 F(25,-72)
(3)因为A、F为定点,所以AF为定值,
当Q到直线AFy=-3x+3 距离(即高)最大时三角形AFQ面积最大,
设Q(x,y)即Q(x, -3/16*(x-5)^2+3) 代入d=|3x+y-3|/根号10
因为根号10也固定正值,|3x+y-3|最大时,面积最大,
所以|3x -3/16*(x-5)^2+3-3|=|3x -3/16*(x-5)^2|=|-3/16(x-13)^2+k| k为常数,
即当x=13,三角形AFQ的面积最大 Y= -3/16*(13-5)^2+3=-9 Q点坐标为(13,-9)