Question

已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图，若k=5,k=10时分别有S=5/11和S=10/21

（1）求数列{an}的通项公式
（2）令BN=2^an，求B1+B2+......BN的值

Answer 1

1）从上述程序图可以看出，数列{an}是一个以d为公比的等比数列，a(n+1)=an*d，则an=a2*d^(n-2)
而Sn是数列{na(n+1)}的前n项和，即有：Sn=1*a2+2*a3+3*a4+…+n*a(n+1) ①，
则dSn=1*a2*d+2*a3*d+3*a4*d+…+n*a(n+1)*d=1*a3+2*a4+3*a5+…+(n-1)*a(n+1)+n*a(n+2) ②
则 ①-②得：(1-d)Sn=a2+a3+a4+…+a(n+1)-n*a(n+2)
=a2*(1+d+d^2+…+d^(n-1))-n*a2*d^n ③
当d=1时，an是一个常数列，即有an=a2，则na(n+1)=na2，此时Sn=a2+2a2+3a2+…+na2=(1+2+3+…+n)a2=[n(n+1)/2]*a2。由题意，当k=5，即n=5时，S=15a2=5/11，则a2=1/33；当k=10，即n=10时，S=55a2=10/21，则a2=2/105，显然相互矛盾，故d≠1。
则由③式，得：(1-d)Sn=[a2*(1-d^n)/(1-d)]-n*a2*d^n ④
将S5=5/11，S10=10/21代入④式，解得：a2=
（1）从上述程序图可以看出，数列{an}是一个以d为公比的等比数列，a(n+1)=an*d，则an=a2*d^(n-2)
而Sn是数列{na(n+1)}的前n项和，即有：Sn=1*a2+2*a3+3*a4+…+n*a(n+1) ①，
则dSn=1*a2*d+2*a3*d+3*a4*d+…+n*a(n+1)*d=1*a3+2*a4+3*a5+…+(n-1)*a(n+1)+n*a(n+2) ②
则 ①-②得：(1-d)Sn=a2+a3+a4+…+a(n+1)-n*a(n+2)
=a2*(1+d+d^2+…+d^(n-1))-n*a2*d^n ③
当d=1时，an是一个常数列，即有an=a2，则na(n+1)=na2，此时Sn=a2+2a2+3a2+…+na2=(1+2+3+…+n)a2=[n(n+1)/2]*a2。由题意，当k=5，即n=5时，S=15a2=5/11，则a2=1/33；当k=10，即n=10时，S=55a2=10/21，则a2=2/105，显然相互矛盾，故d≠1。
则由③式，得：(1-d)Sn=[a2*(1-d^n)/(1-d)]-n*a2*d^n ④
将S5=5/11，S10=10/21代入④式，解得：a2= d=

Answer 2

（1）从上述程序图可以看出，数列{an}是一个以d为公比的等比数列，a(n+1)=an*d，则an=a2*d^(n-2)
而Sn是数列{na(n+1)}的前n项和，即有：Sn=1*a2+2*a3+3*a4+…+n*a(n+1) ①，
则dSn=1*a2*d+2*a3*d+3*a4*d+…+n*a(n+1)*d=1*a3+2*a4+3*a5+…+(n-1)*a(n+1)+n*a(n+2) ②
则 ①-②得：(1-d)Sn=a2+a3+a4+…+a(n+1)-n*a(n+2)
=a2*(1+d+d^2+…+d^(n-1))-n*a2*d^n ③
当d=1时，an是一个常数列，即有an=a2，则na(n+1)=na2，此时Sn=a2+2a2+3a2+…+na2=(1+2+3+…+n)a2=[n(n+1)/2]*a2。由题意，当k=5，即n=5时，S=15a2=5/11，则a2=1/33；当k=10，即n=10时，S=55a2=10/21，则a2=2/105，显然相互矛盾，故d≠1。
则由③式，得：(1-d)Sn=[a2*(1-d^n)/(1-d)]-n*a2*d^n ④
将S5=5/11，S10=10/21代入④式，解得：a2= d=

Answer 3

 

Answer 4

Yes!