Question

知梯形ABCD中，AD平行于BC，且AD大于BC，AD=5，AB=DC=2 如图，P为AD上的一点，满足角BPC=角A，求AP的长。

知梯形ABCD中，AD平行于BC，且AD大于BC，AD=5，AB=DC=2
如图，P为AD上的一点，满足角BPC=角A，求AP的长。
如果点P在AD边上移动（点P于点A，D不重合），且满足角BPC=角A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q。
1当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
写CE=1时，写出AP的长。

Answer 1

先证△APB∽△PBC
∵AD//BC
∴∠APB=∠PBC ① ∠DPC=∠PCB
∵∠BPD是△ABP的外角
∴∠BPC+∠CPD=∠PAB+∠ABP
又有题目可知：∠PAB=∠BPC ②
∴∠ABP=∠PCB ③
由①②③可得：△APB∽△PBC

再证△PBC∽△DCP
∵ABCD是等腰梯形 ∴∠A=∠D
∴∠BPC=∠D ①
∵AD//BC
∴∠PCB=∠DPC ②
∵ABCD为等腰梯形 ∠B=∠C
∴∠DCP+∠PCB=∠PBC+∠PBA
∵∠PBA=∠PCB （由上一证明可知）
∴∠DCP=∠PBC ③
由①②③可得：△PBC∽△DCP

∴△APB∽△PBC∽△DCP
设AP长为x
可得：AP/AB=DC/PD
x/2=2/(5-x)
解方程得：x=1或4