Question

如图，在梯形ABCD中，AB ∥ DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E、F，连接CE，AF．（1）

如图，在梯形ABCD中，AB ∥ DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E、F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF=4，tan∠OAE= 2 3 ，求四边形AECF的面积．

Answer 1

证明：如图， ∵AB ∥ DC， ∴∠1=∠2． 在△CFO和△AEO中， ∠1=∠2 ∠FOC=∠EOA OC=OA ， ∴△CFO≌△AEO（AAS）． ∴OF=OE， 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． （2）∵四边形AECF是菱形，EF=4， ∴OE= 1 2 EF=2． 在在Rt△AEO中， ∵tan∠OAE= OE OA = 2 3 ， ∴OA=3， ∴AC=2AO=6， ∴四边形AECF的面积= 1 2 ×4×6=12．