Question

如图，已知椭圆C 1 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C 2 的短轴为MN，且C 1 ，C 2 的离心

如图，已知椭圆C 1 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C 2 的短轴为MN，且C 1 ，C 2 的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C 1 交于两点，与C 2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。 （1）设e= ，求|BC|与|AD|的比值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由。

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Answer 1

解：（1）因为C 1 ，C 2 的离心率相同，故依题意可设 ， 设直线 ，分别与C 1 ，C 2 的方程联立 求得 ， 当 时， a，分别用 表示A，B的纵坐标，可知 ； （2）t=0时的l不符合题意； 时，BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO 与AN的斜率k AN 相等， 即 ， 解得 ， 因为 ，又 所以 解得 ， 所以当 时，不存在直线l，使得BO∥AN； 当 时，存在直线l使得BO∥AN。