已知函数f（x）=lnx+x22-kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零
已知函数f（x）=lnx+x22-kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．...
已知函数f（x）=lnx+x22-kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．
展开
1个回答
展开全部
（1）函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=
，
方程x2-kx+1=0的判别式△=k2-4，
（i）当-2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，
f（x）是增函数；
（ii）当k=±2时，△=0，
若k=-2，f′（x）=
＞0，f（x）是增函数
若k=2，f′（x）=
，
那么x∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，且f（x）在x=1处连续，
所以f（x）是增函数；
（iii）当k＜-2或k＞2时，△＞0，方程x2-kx+1=0有两不等实根
x1=
，x2=
，
当k＜-2时，x1＜x2＜0，当x＞0时，x2-kx+1＞0恒成立，
即f′（x）＞0，f（x）是增函数
当k＞2时，x2＞x1＞0，此时f（x）的单调性如下表：
综上：当k≤2时，f（x）在（0，+∞）是增函数
当k＞2时，f（x）在（0，
），（
，+∞）是增函数，
在（
f′（x）=
| x2?kx+1 |
| x |
方程x2-kx+1=0的判别式△=k2-4，
（i）当-2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，
f（x）是增函数；
（ii）当k=±2时，△=0，
若k=-2，f′（x）=
| (x+1)2 |
| x |
若k=2，f′（x）=
| (x?1)2 |
| x |
那么x∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，且f（x）在x=1处连续，
所以f（x）是增函数；
（iii）当k＜-2或k＞2时，△＞0，方程x2-kx+1=0有两不等实根
x1=
k?
| ||
| 2 |
k+
| ||
| 2 |
当k＜-2时，x1＜x2＜0，当x＞0时，x2-kx+1＞0恒成立，
即f′（x）＞0，f（x）是增函数
当k＞2时，x2＞x1＞0，此时f（x）的单调性如下表：
| x | （0，x1 ） | x1 | （x1，x） | x2 | （x2，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 增 | 减 | 增 |
当k＞2时，f（x）在（0，
k?
| ||
| 2 |
k+
| ||
| 2 |
在（
k?
|
